MATEMATICA - FUNZIONE ESPONENZIALE

La funzione esponenziale f(x) = ex, spesso indicata anche come exp(x) riveste un'enorme importanza in matematica e ingegneria. Prima di procedere con alcuni dettagli e calcoli o dimostrazioni che possono riguardarla sia nei numeri reali che in quelli complessi e' bene capire come sia costruita.

Da buon ingegnere vado a sfruttare la definizione della funzione esponenziale legata al suo sviluppo in serie, anche perche' e' quella che permette di desumere, in maniera pratica, tutta una serie di considerazioni.

Non e' difficile dimostrare che:
exp(x) = 1 + x + x2/2 + x3/3! + x4/4! + ... + xn/n! + ...
ossia exp(x) altro non sarebbe che una somma di infiniti termini (serie) polinomiali del tipo xn/n! dove n e' un intero che va da 0 a infinito e:
n! = n*(n-1)*(n-2)*...*1 per n > 1
0! = 1 per definizione)
numero intero fattoriale di un intero n positivo o nullo.

I nostri calcolatori digitali classici calcolano exp(x) spesso mediante questa sommatoria troncandola ad un numero sufficientemente alto di n, tale che l'errore di calcolo risulti minimo.

Ora se andiamo a considerare lo sviluppo in serie di due famose funzioni trigonometriche quali sin(x) e cos(x), possiamo osservare qualcosa di davvero interessante:
cos(x) =
= 1 - x2/2 + x4/4! - x6/6! + ... + (-1)nx2n/(2n)! + ...
sin(x) =
= x - x3/3! - x5/5! + x7/7! + ... + (-1)nx(2n+1)/(2n+1)! + ...
a parte il segno "-", gli elementi delle due serie di sin(x) e cos(x) sono gli stessi di exp(x), in particolare gli elementi di cos(x) sono quelli relativi alle posizioni pari, mentre quelli di sin(x) riguardano le posizioni dispari.

Per il segno "-" che si alterna al segno "+" nelle serie di cos(x) e sin(x) basta fare riferimento ai numeri complessi, in particolare al fatto che le potenze intere di i (unita' immaginaria) sono cicliche:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
i5 = i
i6 = -1
i7 = -i
...
quindi se si va a sviluppare exp(i*t) si ha:
exp(i*t) = 1 + i*t - t2/2 - i*t3/3! + t4/4! + i*t5/5! + ... +
...+ in*tn/n! + ...
da cui con molta semplicita', questa serie puo' essere ottenuta come somma della serie di cos(i*t) con quella di sin(i*t), quest'ultima moltiplicata per i, ossia la famosa formula di Eulero:

ei*t = exp(i*t) = cos(t) + i*sin(t)

Questa relazione e' molto importante perche' correla la funzione esponenziale a tutte le funzioni trigonometriche (direttamente o indirettamente).

Ma, in particolare, la formula di Eulero vista permette di determinare alcuni valori esponenziali davvero particolari:
ei*pigreca = cos(pigreca) + i*sin(pigreca) = -1
ossia, in forma compatta ed elegante l'equivalenza:

ei*pigreca + 1 = 0

che e' ritenuta anch'essa una formula notevole dato che correla il numero di Nepero e, l'unita' immaginaria i, la costante pigreca, lo 0 e il numero 1, ossia alcuni dei mattoni fondamentali della matematica ad ogni livello.

Per finire, andiamo a calcolare un ultimo valore esponenziale sia strano che notevole ossia:
ii
quindi l'esponenziale immaginario dell'unita' immaginaria che, come si puo' vedere di sotto, e' sorprendentemente un numero reale!

Sapendo che:
exp(i*pigreca/2) = cos(pigreca/2) + i*sin(pigreca/2) = i
si ha che:
ii = (exp(i*pigreca/2))i
per la proprieta' delle potenze si arriva quindi a:

ii = e-pigreca/2

che e' un numero reale (provate a calcolarlo digitalmente...).

La formula di Eulero trova enormi applicazioni in ogni campo dell'ingegneria e anche nel Quantum Computing.

marcomattiucci.it

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