MATEMATICA - NUMERI NATURALI

Imparare a contare è comune farlo usando le proprie dita. Non è infatti a caso che la base di numerazione impiegata comunemente è 10. Essa non è l'unica e sicuramente non è la migliore per fare i conti. I computer usano la base 2 perchè corrisponde ai loro stati elementari elettrici di acceso/spento. Il tempo ancora oggi, in molti casi, lo misuriamo spesso in 60-esimi e non in decimi o centesimi (il 60 infatti può essere facilmente diviso per 2, 3, 4, 5, 6 e 10). Ad ogni modo le dita sono 10 e quindi comunemente impariamo a contare fino a 10 e dopo creiamo degli artifizi mentali per continuare.

E lo zero?

Lo zero è un dannatissimo problema ed è un concetto relativamente recente (matematico arabo Muhammad ibn Musa al Khwarizmi - 800 dopo Cristo - che lo introdusse tra i numeri oggi noti come “arabi”, nel libro dal titolo Al-jabr da cui l'italiano Algebra) che ha risolto una infinità di problemi nel calcolo e nella rappresentazione numerica. Lo zero non è un dito... si può provare con il pugno chiuso ma non funziona bene, è un concetto innaturale, una astrazione di livello molto alto.

Ma come si conta? che poi equivale a rispondere alla domanda: come sono stati creati i numeri naturali 0,1,2,3,4,...?

Per lo zero lasciamo perdere al momento. Per 1 prendiamo il primo dito della mano destra (a partire dalla quale ci hanno insegnato a contare) e consideriamo un insieme di elementi qualsiasi da contare. Se possiamo associare mentalmente l'elemento interno all'insieme in maniera biunivoca al nostro dito (associazione univoca nei due sensi) e se non rimangono fuori elementi e/o dita da questa procedura possiamo dire che la cardinalità dell'insieme è 1. Tutti gli insiemi dell'universo per i quali possiamo ripetere questa procedura hanno cardinalità 1. Questa caratteristica che abbiamo individuato di una classe di insiemi nella nostra mente rappresenta proprio il numero 1. In definitiva il numero 1 è proprio quel singolo dito per la mente di coloro che non lavorano molto di astrazione.

Se consideriamo 2 dita possiamo individuare la classe degli insiemi a cardinalità 2 e così il numero 2. Il procedimento si può ripetere fino ad usare tutte le dita. E poi?

Prima di andare avanti torniamo indietro perchè abbiamo il problema dello zero da risolvere... con le dita non funziona la procedura per cui facciamo un'astrazione: immaginiamo che esista un insieme vuoto, ossia un insieme che non contenga elementi, definiremo 0 come la cardinalità proprio dell'insieme vuoto.

Attenzione che sebbene possano esistere infiniti insiemi di tanti tipi di elementi, esiste un solo insieme vuoto, questo a dimostrare che si tratta solo di un artifizio mentale ma comunque di estrema importanza in matematica, logica, informatica, ecc. ha risolto più questioni appese nei secoli l'insieme vuoto che diversi altri principi matematici famosi.

Grazie all'invenzione dello zero si è potuto andare avanti da 10 in poi nella cosiddetta notazione decimale (è appena il caso di notare che 10 è un 1 seguito da uno 0). Ma come è stato possibile? Grazie a delle assunzioni fortemente collegate al principio filosofico detto di induzione di cui la matematica a vari livelli ha fatto un uso spropositato. Definiamo la funzione successore:

Il successore di 0 è 1;
Il successore di 1 è 2;
...
Il successore di 8 è 9;
...
Se n è un numero naturale allora esiste sempre un successore di n che scriveremo n+1.

Se ammettiamo che esista la funzione successore ed operi come descritto facciamo enormi passi avanti. Ad esempio ammettiamo che i numeri sono infiniti e possono essere infinitamente grandi. Creiamo subito la funzione somma, ad esempio 4+3 è ((4+1)+1)+1 ossia il terzo successore di 4 e quindi 7 (ricordate quando vi hanno insegnato a fare le somme contando con le dita? stavate usando la funzione successore...).

I numeri 0,1,2,3,4,... così determinati (mi perdonino i matematici per le approssimazioni fatte sugli assiomi dei naturali) vengono indicati con l'insieme infinito, ordinato e discreto N dei Numeri Naturali.

marcomattiucci.it

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