Marco Mattiucci

MATEMATICA - NUMERI ALGEBRICI

Da un punto di vista dei calcoli i numeri razionali (le frazioni a/b) sono determinanti. Soprattutto nei primi tempi della matematica ciò che si poteva calcolare erano: somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenze intere (si tratta di sequenze di moltiplicazioni) ed estrazione di radici intere. Oggi i nostri calcolatori elaborano anche funzioni complesse ma in realtà quello che svolgono è un'articolata serie delle predette operazioni su numeri decimali troncati e quindi su razionali dopotutto semplici.

I numeri reali che si possono trattare ed ottenere proprio con le predette operazioni, partendo da numeri razionali, sono sicuramente numeri algebrici ossia si può dimostrare che sono soluzione di almeno un'equazione polinomiale del tipo:
P_n(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ = 0
dove n>0, a_i sono interi ed a_n è diverso da 0. L'insieme dei numeri algebrici è indicato spesso con A.

I numeri algebrici non sono necessariamente razionali, ad esempio, la famosa radice quadrata di 2, già trattata in altre pagine di questo sito, è una delle due soluzioni dell'equazione x²-2 = 0, quindi è un numero algebrico ma: (a) è irrazionale; (b) non si può calcolare perfettamente con un numero finito delle predette operazioni in quanto è un valore limite. Teone di Smirne (prima metà del II sec. d.C.) dimostra che la radice di 2 si può ottenere approssimativamente calcolando le seguenti coppie e facendone il rapporto: (1;1) (3;2) (7;5) (17;12) ... (a_n-1;b_n-1) ((a_n-1+2b_n-1);(a_n-1+b_n-1)) ... Non è difficile verificare che procedendo nella creazione delle coppie (con somme e moltiplicazioni di interi...) il risultato di a_i/b_i converge sempre con maggiore precisione ad un valore che approssima la radice quadrata di 2.

Al contrario, un numero razionale a/b (con a e b interi e b diverso da 0) è sempre algebrico infatti è sempre soluzione dell'equazione bx-a = 0. A include quindi i razionali Q e di conseguenza gli interi relativi Z ed i naturali N.

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