MATEMATICA - NUMERI RAZIONALI

Contare è stata la prima necessità. A seguire è venuta la somma che, con la funzione di successione tra i numeri naturali è molto semplice da capire. Il problema dello zero è stato risolto inventandosi l'artifizio della cardinalità dell'insieme vuoto. Ma tutto questo non basta, i numeri naturali 0,1,2,3,4,... non sono sufficienti.

Se infatti volessimo descrivere la differenza tra due numeri naturali avremmo dei problemi: dato che 4+2 si può esplicare come il secondo successore di 4, la differenza 4-3 potrebbe essere descritta come quel numero il cui terzo successore sia 4. Ma cosa capita se l'operazione è 2-3? Non è possibile svolgerla (e spesso sentiamo questo fatto alle scuole primarie: non è un'operazione corretta), mentre in realtà accade solo che il risultato esce fuori dai numeri naturali N.

Si costruisce quindi una nuova astrazione (ben lontana dalla realtà comune stavolta, molto di più dei numeri naturali): si definisce -1 come quel numero il cui successore è 0; -2 come quel numero il cui successore è -1; e così via fino all'infinito (o -infinito...) ottenendo: ...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... ossia i numeri relativi Z.

I numeri relativi non hanno senso comune se non associati a precisi fenomeni fisici, ad esempio: la temperatura e le direzioni (avanti ed indietro) nei movimenti rettilinei. Eppure dal punto di vista dei calcoli risolvono tanti problemi e la differenza tra numeri, come operazione rimane sempre valida dentro Z. Prima dicevamo: 2-3 che ora diviene -1. Si pensi alla gestione dei debiti economici che concettualmente sono dei segni "-" e del credito che concettualmente è un segno "+". Spesso Z è descritto in questo modo: ...-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,... ma dato che il "+" è il successore classico di N viene spesso omesso.

E' interessante notare che N e Z sono insiemi ordinati e quindi riescono ad identificare concetti come maggiore, minore, prima, dopo, ecc. ma un grosso problema che ancora non risolvono è la gestione delle quantità intermedie: cosa c'è tra 1 e 2? Una cosa deve per forza essere intera o può essere anche parziale? Normalmente le cose sono parziali e l'integrità (l'uno, il due, ecc.) sono eccezioni (qualcuno dice che gli interi sono proprio un'invenzione umana senza veri corrispondenti in natura). La questione ora è molto complicata e non si può più far riferimento alle dita per contare... come è possibile, infatti, contare delle frazioni di qualcosa? Semplicemente non si può. Ma la gestione delle frazioni è comunque necessaria in ogni ambito umano: 3 etti e mezzo di prosciutto :-)

E' necessario introdurre l'operazione di divisione: prendiamo un intero n di Z e ne consideriamo m frazioni (facendo attenzione a prendere m non nullo e positivo), nasce il numero frazionario n/m, ad esempio 2/3, 4/6, ecc. Se consideriamo tutti i numeri frazionari possibili l'insieme che se ne determina è Q dei numeri razionali.

I numeri razionali Q includono sia N che Z al loro interno (basta prendere m=1).

I numeri razionali Q sono molto strani perchè essendo "densi" non è possibile determinare una funzione successore come per N e Z. Immaginiamo infatti di avere due numeri espressi come frazioni x=a/b ed y=c/d, sebbene si possa sempre capire chi è maggiore o minore dell'altro non posso stabilire nessun successore perchè tra x ed y posso trovare infiniti altri numeri dello stesso tipo. In questo senso Q è denso, proprietà assente in Z o N nei quali tra n ed m c'è sempre e solo un numero finito ed ordinato di elementi.

marcomattiucci.it

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