Marco Mattiucci

MATEMATICA - NUMERI TRASCENDENTI

Come gia' introdotto nella pagina dei numeri computabili, un numero trascendente è un numero irrazionale non algebrico, ossia un numero che non si puo' esprimere mai come una frazione di interi p/q e nemmeno come soluzione di una qualsiasi equazione polinomiale del tipo:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₀ = 0

con i vincoli che si possono ritrovare nella pagina sui numeri algebrici A. (a proposito, si noti che non e' difficile considerare che l'insieme dei numeri algebrici e' numerabile cosi' come gli interi e i razionali).

Molto semplicemente, quando si ha un numero trascendente, non si ha proprio modo di costruirlo in maniera perfetta usando somme, differenze, prodotti, rapporti e radici. Come visto nella pagina dei numeri computabili talvolta e' possibile calcolare i numeri trascendenti con un'approssimazione piccola a piacere. Sicuramente il caso di e (numero di Nepero) e pi-greca, che sono i due numeri trascendenti in assoluto piu' famosi.

I due numeri trascendenti appena citati sono stati determinanti nella matematica in quanto hanno permesso di "gestire" l'esistenza della funzioni trascendenti, ossia particolari tipologie di calcoli che, ad onor del vero, non sono esprimibili come combinazioni di somme, differenze, prodotti, rapporti e radici. Rilevantissime sono le funzioni goniometriche (sin(),cos(),...), quelle esponenziali (exp()...), e le logaritmiche (log()...) senza le quali nessuno studio scientifico quantitativo sarebbe stato mai possibile.

Sono stati individuati altri importanti numeri trascendenti, oltre i due citati, alcuni dei quali sono determinabili con formule e algoritmi con approssimazione piccola a piacere (computabili), altri per i quali nemmeno e' nota la teoria da impiegare per calcolarli con qualche approssimazione. In ogni caso si tratta di numeri "strani" e "importanti". Per citarne alcuni:

- Il numero Omega detto costante di Chaitin introdotto dal matematico e informatico Chaitin nel 1975 come probabilita' che una macchina di Turing universale fermi la sua computazione dopo aver iniziato ad eseguire una stringa finita casualmente scelta p costituente un programma eseguibile. Lo stesso Chaitin ha verificato che tale numero esiste definito ma non e' calcolabile in nessun modo.

- La funzione zeta di Rienmann pluripresente in matematica, fisica, probabilita', statistica,... genera numeri trascendenti in quantita' quando calcolata sul dominio degli interi. Nel caso dei numeri pari la zeta riconduce a multipli razionali di pi-greca per cui si torna ad una vecchia conoscenza. Per i dispari ancora si e' in alto mare con la dimostrazione della loro trascendenza...

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