Marco Mattiucci

MATEMATICA - NUMERI REALI

Dopo aver scoperto che esistono numeri razionali ed irrazionali rimaneva il problema di come rappresentare le grandezze fisiche normalmente definite "continue". Il concetto di continuo viene dal fatto che in fisica, chimica, ecc., nei primi tempi, si vedevano misure i cui valori andavano raffinandosi con l'evoluzione degli strumenti di misura stessi e non sembrava ci fossero particolari limiti in tal senso se non quello della tecnologia di misura. Questo ci aveva abituati a vedere tra due valori di misura infiniti altri possibili che magari non si potevano valutare per problemi di approssimazione. Ad esempio una lunghezza poteva essere 3m con l'approssimazione di più o meno 1mm da cui è come se si stesse considerando l'intervallo (2.999,3.001) dando per implicito che la misura poteva cadere in un qualsiasi punto interno all'intervallo, più precisamente dando per assodato che l'intervallo in questione fosse proprio "continuo".

Oggi la teoria del "continuo" ha subito forti scossoni, anche a causa di quella fisica che tanto la invocava, ma, un po' di tempo fa bisognava risolvere la questione e dal punto di vista pratico la matematica ha affrontato la cosa con la rappresentazione decimale cui siamo tutti abituati: dopo la cifra intera viene riportata una virgola (o punto in informatica) e poi una sequenza di numeri, sempre interi, che rappresentano vediamo cosa:

Considerato X,d₁d₂d₃...d_k...

X è un intero con segno, elemento di Z ed i d_k sono interi, anche nulli, elementi di N.

x = X+SUM(d_i10^-i) è un numero reale (dell'insieme R).

Questa definizione non è ovvia e precisa come sembra, ci sono diversi problemi, ad esempio per 1,234 la sommatoria SUM è una somma finita ed è ok, ma per 1,9999... (dove i 9 non finiscono mai) diviene una somma di infiniti elementi, ossia quella che in matematica viene chiamata serie infinita. Se poi studiamo proprio 1,999999... questo numero si può scrivere x = 1+9*SUM(10^-i) ma non è difficile dimostrare che la serie infinita SUM(10^-i) vale (converge a) proprio 1/9 da cui si ottiene che 1,9999... = 2 !!! ossia il numero reale, intero e razionale 2 ha almeno una doppia rappresentazione decimale! A questa sorta di ambiguità rappresentativa va aggiunto ovviamente che la rappresentazione decimale risente della base 10 mentre il concetto di numero reale dovrebbe essere base-indipendente.

Cos'è quindi un numero reale? è, in maniera semplificata, un valore di convergenza di successioni finite o infinite di numeri razionali. E' vero quindi che i numeri razionali non sono sufficienti a rappresentare i numeri reali (ci sono almeno gli irrazionali che restano esclusi) ma è anche vero che al limite infinito di certe successioni di razionali si trovano proprio i numeri reali (la definizione completa impiegata dai matematici è più complessa, ho semplificato un poco la trattazione). I numeri reali sono quindi dei valori al limite.

marcomattiucci.it

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