MATEMATICA - NUMERI IRRAZIONALI

Considerato che l'insieme dei numeri razionali Q è denso e che quindi tra due numeri razionali x ed y se ne possono trovare infiniti altri, per molto tempo si è pensato che tutti i numeri e quindi tutte le quantità fossero rappresentabili tramite frazioni numeriche.

Questo, da un punto di vista strettamente matematico è scorretto, ossia esistono numeri che non sono rappresentabili come frazioni a/b. Al contrario, da un punto di vista strettamente pratico (conti di tutti i giorni) e computazionale (tutto ciò che possono calcolare i computer) solo i numeri razionali sono quelli che si prendono in considerazione. E per gli altri? Noi esseri umani ci limitiamo a scriverli mediante dei simboli che non sono esattamente dei numeri (ma costanti e variabili letterali) e vi applichiamo il calcolo algebrico invece di quello numerico. I computer, invece, sfruttano il fatto che Q è denso per trovare dei numeri razionali (delle frazioni) straordinariamente vicini ai valori dei numeri non razionali realizzando di fatto dei calcoli approssimati con bassissimo errore (calcolo numerico informatico).

Secondo leggenda (che non mi fermerò a verificare se vera o falsa) Ippaso di Metaponto è stato il filosofo della scuola pitagorica, a scoprire l'esistenza dei numeri non razionali (pare rimettendoci le penne...), ossia non rappresentabili mediante frazioni. Due numeri irrazionali sono ben noti oggi dalla cultura di base di praticamente tutti: la radice di 2 e la pi greca. Non è a caso che siano fattori geometrici importantissimi: il primo, la radice di 2 è la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario; il secondo, la pi greca, è il rapporto tra la lunghezza del cerchio (circonferenza) ed il suo diametro.

Soprattutto per radice di 2, la diagonale del quadrato unitario, gli antichi si accorsero che costruendo tale quadrato (è facile), ad esempio 1 metro quadrato, non era possibile misurare in maniera precisa la diagonale, ogni volta che provavano a raffinare la misura ci si accorgeva che c'era un errore. Misurare equivale ad applicare una scala di misura (razionale) ad una lunghezza; per quanto provassero a migliorare la scala e farla raffinata, non riuscivano a trovare una corrispondenza delle tacche di misura perfetta (intera).

Il motivo di questo, oggi è bene noto: radice di 2 non si può misurare con una scala razionale perchè è un numero irrazionale. Un computer ormai è in grado di effettuare questa misura con gradi di approssimazione assurdamente precisi (miliardesimi di miliardesimi di ...) ma MAI in maniera completamente precisa (l'approssimazione nulla non è possibile).

La dimostrazione dell'esistenza di radice di 2 come numero irrazionale si può svolgere in una miriade di modi. Riporterò, semplificandola al massimo, quella di Stanley Tennenbaum (anni ’50) che è semplice ed elegante, facendo riferimento più alla geometria che al calcolo algebrico.

Ipotizzando per assurdo che la radice di 2 sia razionale dovrebbe risultare uguale ad a/b con a e b interi. Prendendo a e b primi tra loro (la frazione è semplificata) e minimi, si può elevare al quadrato l'uguaglianza ottenendo a2 = 2b2, ossia il quadrato di lato a dovrebbe avere l'area pari al doppio del quadrato di lato b. Considerando ora la figura, inseriamo due volte il quadrato di lato b in quello di lato a come evidenziato. Come si evince geometricamente dalla figura sono stati determinati altri due quadrati di lato (a-b) e due quadrati più grandi, coincidenti, di lato (2b-a). Uno dei quadrati di lato (2b-a) copre lo spazio rosa, l'altro dovrebbe coprire i due quadrati (bianchi) di lato (a-b). Ma, a ben riflettere, questo è lo stesso problema che ci siamo proposti all'inizio di questa dimostrazione, solo che con lati più piccoli, ciò contravviene alle ipotesi iniziali di avere numeri a e b minimi e quindi siamo arrivati ad un assurdo.

Dato l'assurdo, se ne desume che non possono esistere due numeri interi a e b per cui a2 = 2b2 e quindi radice di 2 non potrà mai essere rappresentata da a/b.

Per approfondimenti potete leggere questo articolo in inglese che è interessante per la varietà delle dimostrazioni che propone sulla irrazionalità di radice di 2.

marcomattiucci.it

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