MATEMATICA - NUMERI TRANSFINITI

Se la trattazione che abbiamo visto dei numeri reali R (che poi sono quelli che ipotizziamo di usare sempre in qualsiasi campo scientifico) stupisce un poco, dato che sono dei valori al limite di particolari successioni infinite di numeri razionali, questa pagina sui numeri transfiniti fa porre al lettore parecchie domande sulla matematica.

Ripartiamo dal contare, la pagina sui numeri naturali N ha introdotto come si sia partiti nel concepirli, sostanzialmente prima per esigenza di conteggio delle cose e poi per svolgere operazioni aritmetiche. Con la funzione successore dopo 0 c'è 1, dopo 1 c'è 2 e così via,..., ma questo "così via" cosa vuole dire? In linea di massima che questo procedimento di individuazione del successore non ha termine. Quindi, quanti sono i numeri naturali? La risposta banale che darebbero praticamente tutti è infinito, ok, ma cosa vuole dire?

Il matematico Cantor intorno al 1870 fornisce una risposta grazie alla teoria degli insiemi ed al concetto di cardinalità di un insieme. Due insiemi finiti (con un numero di elementi al loro interno finito) hanno la stessa cardinalità se hanno lo stesso numero di elementi, per cui basta contare... Ma cosa vuole dire contare? contare, mentalmente, significa stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi degli insiemi ed un sottoinsieme dei numeri naturali: 1 corrisponde ad x1, 2 corrisponde a x2, ecc. (corrispondenza biunivoca tra A e B è una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme A uno ed uno solo dell'insieme B e viceversa). Cantor decise di estendere questa considerazione anche agli insiemi infiniti.

Due insiemi con infiniti elementi hanno quindi la stessa cardinalità se tra loro si può stabilire una corrispondenza biunivoca, ok, ma questo cosa c'entra con la definizione di infinito? Andiamo a tal proposito a considerare N ed un suo sottoinsieme proprio come quello dei numeri pari P (un sottoinsieme A dell'insieme U è detto proprio se ci sono degli elementi di U che non appartengono ad A, nel caso dei numeri pari tutti i numeri dispari sono esclusi). La funzione f(n) = 2n stabilisce una corrispondenza biunivoca tra N e P, infatti, se n=0 si ha f(n)=0, se n=1 si ha f(n)=2, ecc. ossia N e P hanno la stessa cardinalità! Ma questo è veramente strano a ben pensarci: come può un sottoinsieme proprio di un insieme (quindi un suo pezzo "ritagliato") avere lo stesso numero di elementi di chi lo include in senso stretto?

Cantor con una grandiosa intuizione affermò che questa è la proprietà dell'infinito: un insieme ha infiniti elementi se si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio, talvolta troverete scritto "che abbia la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme proprio", altre volte anche "che sia equipotente ad un suo sottoinsieme proprio".

Come abbiamo visto N ha cardinalità infinita secondo Cantor, per Z basta considerare la corrispondenza biunivoca con N del tipo: f(n) = [-n/2 per n pari; (n-1)/2 per n dispari], quindi N e Z hanno la stessa cardinalità. La cardinalità dei numeri naturali è molto diffusa tra gli insiemi numerici per cui la si è chiamata in maniera particolare: numerabilità. Anche Q è numerabile, infatti gli elementi dei razionali sono a/b dove a è un elemento di Z e b un elemento di Z+ (ossia N-{0}) e quindi, dal punto di vista del numero di elementi Q è l'insieme di tutte le coppie possibili (a,b) di interi con b diverso da 0:

...(-3,1) (-2,1) (-1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1)...
...(-3,2) (-2,2) (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2)...
...(-3,3) (-2,3) (-1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3)...
...(-3,4) (-2,4) (-1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4)...
... ...

Si è ottenuta una sorta di matrice di infiniti elementi. Si può dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca tra Q ed il suo sottoinsieme proprio Q+:

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) ...
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)...
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)...
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)...
... ...

Da cui basta ora considerare la corrispondenza biunivoca tra Q+ ed N del tipo: f(a,b) = (a+b-2)(a+b-1)/2 + (a-1) che "sequenzializza" la matrice in questa maniera:

- ad (1,1) corrisponde 0
- ad (1,2) corrisponde 1
- ad (2,1) corrisponde 2
- ad (1,3) corrisponde 3
- ad (2,2) corrisponde 4
- ad (3,1) corrisponde 5
- ad (1,4) corrisponde 6
- ad (2,3) corrisponde 7
- ad (3,2) corrisponde 8
- ad (4,1) corrisponde 9
...

Quindi Q+ è numerabile per cui anche Q è numerabile. Ossia Q avrebbe lo stesso numero di elementi di N sebbene Q risulti denso e quindi sembrerebbe molto più ricco di elementi di N che invece non lo è (tra due numeri naturali non ci sono infiniti altri numeri naturali, cosa che invece accade per i razionali). Stranezze dell'infinito...

Se arriviamo a R però le cose non funzionano più ed i numeri reali non risultano numerabili. La dimostrazione passa sempre attraverso una matrice di Cantor ed il cosiddetto argomento diagonale di Cantor. Ipotizziamo per assurdo che un sottoinsieme proprio di R sia numerabile e precisamente l'intervallo [0,1]. Dovrebbe esistere una f(n) che ad ogni n dei N associ un numero reale y = f(n) tra 0 ed 1 (in notazione decimale con la virgola):

f(0) = 0,d1,1d1,2d1,3d1,4...d1,k
f(1) = 0,d2,1d2,2d2,3d2,4...d2,k...
f(2) = 0,d3,1d3,2d3,3d3,4...d3,k...
f(3) = 0,d4,1d4,2d4,3d4,4...d4,k...
f(4) = 0,d5,1d5,2d5,3d5,4...d5,k...
...

Provvediamo ora a formare il numero reale X, compreso tra 0 ed 1, nel modo seguente:

X = 0,x1x2x3x4...xk...
dove xk = [4 se dk,k=5; 5 altrimenti]

Il numero X è in [0,1] ma non può esistere n per cui f(n) gli corrisponda, se così fosse infatti dn,n potrebbe essere solo 4 o 5, ma non potrebbe 4 senza essere 5 per cui si arriva ad un assurdo. Quindi il risultato è che f(n) non esiste proprio, ossia ci sono più valori in [0,1] (e quindi in R) che in N pur essendo entrambi insiemi di infiniti elementi.

La cardinalità di N è detta numerabilità o cardinalità discreta ed il numero di elementi di N (l'infinito discreto) è stato indicato con il valore aleph-zero, primo numero transfinito.

La cardinalità di R è detta cardinalità del continuo ed è indicata con il valore aleph-uno, secondo numero transfinito.

marcomattiucci.it

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