MATEMATICA - NUMERI COMPLESSI E QUATERNIONI

I numeri reali R sono in grado sicuramente di coprire un ventaglio veramente ampio di valori e situazioni in matematica, fisica e altre materie scientifiche, eppure, presto non bastarono. Quello che e' interessante e' che non bastarono innanzitutto ai matematici. L'idea che la "semplice" equazione:

[x2+1 = 0] ~ qual'e' il numero che elevato al quadrato da' -1?

non avesse soluzioni esprimibili in R (nessun numero reale elevato al quadrato, ossia moltiplicato per se stesso puo' dare -1 in quanto alla definizione stessa di prodotto nei relativi Z) portava molti grattacapi, anche perche' si scopri' presto che non si trattava di una sola equazione ad avere tali problemi ma intere classi di equazioni.

La fantasia non ha limiti neanche nella matematica, per cui, avendo esaurito tutte le possibili scappatoie con i numeri reali si penso' di aggregare dei numeri atti a creare nuove tipologie di numeri. Oggi la matematica moderna, in qualsiasi settore sia applicata, impiega aggregati di numeri in grande quantita'. Gli stessi computer sono stati programmati per impiegare sequenze, vettori, matrici e persino strutture alfanumeriche disomogenee con grande facilita' ed efficienza.

Quindi, nella maniera piu' semplice, si penso' di costruire un nuovo tipo di numero formato da 2 numeri reali in coppia sul modello del prodotto cartesiano:

a = (x,y) appartenente a R×R = R2

dove R×R e' il prodotto cartesiano di R per se stesso e quindi, ad esempio (x,y) e' diverso da (y,x) e quindi l'ordine della coppia e' importante (a meno che ovviamente x non coincida con y). Molti conoscono questo R2 oggi come il piano cartesiano che tanto ci propinano a scuola per cui non e' niente di particolarmente complesso. Quello che e' interessante e' il pensare che (x,y) sia stato concepito come un aggregato, ossia come una nuova entita' numerica a. Ora il passo e' breve nel creare anche delle operazioni similari a quelle che conosciamo nell'aritmetica classica. In particolare se a = (xa,ya) e b = (xb,yb), definiamo:

La somma: a+b = (xa+xb,ya+yb).

Il prodotto: ab = (xaxb-yayb,xayb+xbya).

Vediamo cosa accade a [R2, +, •] cosi' definiti. Non e' difficile dimostrare che la somma e' associativa e commutativa, che esiste uno nuovo tipo di zero (0,0), che ogni elemento a = (x,y) ha il suo opposto (-x,-y), che il prodotto e' associativo e commutativo, che esiste un nuovo tipo di 1 (elemento neutro per il prodotto) ossia (1,0), che ogni elemento a ha il suo inverso e che il prodotto e' distributivo rispetto alla somma. In definitiva tutto questo per dire che [R2, +,•] si comporta esattamente come il classico [R, +, •], e in matematica sono infatti detti entrambi campi. C'e' anche qualcosa in piu' di questo, se si considerano i particolari numeri (x,0) si vede che si comportano in tutto e per tutto come i numeri reali classici, ossia come x preso da solo.

La particolare scelta di somma e prodotto che abbiamo fatto ha poi delle implicazioni molto interessanti, considerando infatti il prodotto di a = (x,y) per se stesso, ossia il suo quadrato:

a2 = (x,y)(x,y) = (x2-y2,2xy)

se scegliamo il particolare numero a = (0,1) e ne facciamo il quadrato otteniamo:

a2 = (0,1)(0,1) = (-1,0)

classicamente (0,1) viene indicato con i ed e' detto unita' immaginaria, questo nome "farlocco" viene dal fatto che per anni si e' rimasti scettici sulla sua esistenza. Ebbene i e' l'unico numero che elevato al quadrato da' -1, questo pero' non piu' in R ma nel [R2, +, •], campo che abbiamo definito prima, il quale ha anch'esso un nome tradizionale piu' che evocativo: campo dei numeri complessi e si indica con C.

Nelle scuole superiori e spesso anche all'universita' la trattazione non e' svolta come ho fatto qui in termini di aggregati numerici, si parla solo e direttamente di i che elevato al quadrato da' -1 e tutto si aggiusta in un modo molto elementare. Il numero a = (x,y) si dice quindi che e' un numero complesso x+iy con parte reale x e parte immaginaria y, considerandolo ai fini delle operazioni come se fosse un binomio, quando concretamente si tratta di una coppia di numeri aggregati.

Quello che molto raramente si studia nelle scuole superiori e' che, invece, il processo di aggregazione mostrato puo' essere reiterato su C passando a C2 e quindi a R4. Con uno sforzo di fantasia non enorme ripartiamo con un numero z = (a,b) dove a e b questa volta sono gia' numeri complessi di C. In pratica stiamo costruendo un numero z che e' una coppia di coppie di numeri reali, quindi una quaterna di numeri reali:

z = (a,b) con
a = (xa,ya) e b = (xb,yb) da cui
z = ((xa,ya),(xb,yb)) = (xa,ya,xb,yb)

dove l'ordine della quaterna e' ovviamente importante. Se ora si ridefinisce la somma e il prodotto in maniera similare a quanto fatto in precedenza per C si ha per z1 e z2 di C2:

La somma:
z1 + z2 = (a1+a2,b1+b2) =
(xa1+xa2,ya1+ya2,xb1+xb2,yb2+yb2)

Il prodotto: z1z2 = (a1a2-b1b2,a1b2+a2b1) = ecc...

Questa volta su [C2, +, •] o anche [R4, +, •] non si ha un campo ma un corpo in quanto il prodotto non e' piu' commutativo, ma tutto il resto permane. Si consideri che (x,0,0,0) si comporta come un numero reale classico e (a,b,0,0) come un numero complesso classico, quindi siamo di fronte ad una generalizzazione dei numeri complessi che poi, in concreto, viene usata solo per particolari applicazioni in fisica, matematica e informatica. Il complesso esteso [R4, +, •] viene spesso riferito come corpo dei quaternioni H e (xa,ya,xb,yb) viene detto quaternione.

Allo stesso modo dei numeri complessi si possono definire delle unita' immaginarie, che questa volta sono piu' di una:

1) i = (0,1,0,0) coincidente con i di C
2) j = (0,0,1,0)
3) k = (0,0,0,1).

mentre l'unita' reale rimane ovvia:

1 = (1,0,0,0)

da cui il quaternione viene scritto in forma polinomiale come segue: xa+iya+jxb+kyb e sussistono proprieta' quali:

i2 = j2 = k2 = ijk2 = -1

formula legata storicamente al nome del famoso matematico W.R.Hamilton che la concepi' direttamente in un momento di "geniale folgorazione".

NB: Va ricordato che una delle prime versioni delle equazioni di Maxwell, importantissime in fisica ed elettronica, fu scritta proprio in termini di quaternioni.

marcomattiucci.it

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